Question

【题目】已知抛物线，是坐标原点，点是抛物线上一点（与坐标原点不重合），圆是以线段为直径的圆。

（1）若点坐标为，求抛物线方程以及圆方程；

（2）若，以线段为直径的圆与抛物线交于点（与点不重合），求圆面积的最小值。

Answer 1

【答案】（1）抛物线方程为，圆方程为：（2）

【解析】

（1）将代入抛物线方程即可得到抛物线方程；根据点坐标可求得圆心和半径，从而得到圆的方程；（2）根据得抛物线方程，设，，根据在圆上可得，整理可得，利用基本不等式可求得；代入圆的面积公式即可求得结果.

（1）在抛物线上 ，解得：

抛物线的方程为：

又 圆心为，半径为

圆方程为：

（2）

设，

在以为直径的圆上 ，即

又，

又，且，

（当且仅当，即时取等号）

圆的面积

圆面积的最小值为