Question

【题目】设椭圆方程（），，是椭圆的左右焦点，以，及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形.

（1）求椭圆方程；

（2）过分别作直线，，且，设与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意，分析可得，计算可得、的值，将、的值代入椭圆的方程即可得答案；

（2）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形面积，综合即可得答案．

解：（1）由题设可得：，

，

，，

故椭圆方程为；

（2）由（1）可知椭圆的焦点

当其中一条直线斜率不存在时，令，则

当直线斜率存在时，设直线，

代入椭圆方程得：，

则，；

所以弦长

，

设直线的斜率为，不妨设，则，，

因为，，，，

，

综上，四边形面积的取值范围是．

故