Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+1.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）的在区间[t，t+1]（t>0）的最小值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的递减区间为（0，），递增区间（，+∞）；（2）当t∈（0，]时，f（x）的最小值为1，当t∈（，+∞）时， f（x）的最小值为tlnt+1.

【解析】

（1）求出导函数，分别解导函数大于零和小于零不等式得解；

（2）结合（1）已得单调性，分类讨论求最值.

（1）f（x）=xlnx+1， =lnx+1=lnx﹣ln，x>0，

由得，由得

当x∈（0，）时，f（x）递减；

当x∈（，+∞）时，f（x）递增；

故f（x）的递减区间为（0，），递增区间（，+∞）；

（2）由（1）知，当x∈（0，）时，f（x）递减；当x∈（，+∞）时，f（x）递增；

f（x）的最小值为f（）=1，

当t∈（0，]时，t+1∈[1，1]时，f（x）在间[t，t+1]（t>0）的最小值为f（）=1，

当t∈（，+∞）时，t+1∈（1，+∞），f（x）在间[t，t+1]递增，f（x）的最小值为f（t）=tlnt+1.

综上所述：当t∈（0，]时，f（x）的最小值为1，当t∈（，+∞）时， f（x）的最小值为tlnt+1.