Question

若复数z=sin2θ-1+(

2

cosθ+1)•i为纯虚数，则角θ组成的集合为

{θ|θ=2kπ+

π

4

，k∈Z}

．

Answer 1

分析：利用复数的分类：z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件为a=0，且b≠0．解相应的方程（组）求出θ，写成集合形式．

解答：解：若复数z=sin2θ-1+(

2

cosθ+1)•i为纯虚数，则

sin2θ-1=0 2 cosθ+1≠0

，即

θ=kπ+ π 4 ，k∈Z θ≠2kπ± 3π 4 ，k∈Z

，
θ终边落在第一象限平分线上，∴θ=2kπ+

π

4

，k∈Z．，角θ组成的集合为 {θ|θ=2kπ+

π

4

，k∈Z}
故答案为：{θ|θ=2kπ+

π

4

，k∈Z}

点评：本题考查纯虚数的概念，已知三角函数值求角．本题准确的解三角方程、三角不等式是关键．