Question

已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(Ⅰ)求异面直线CC₁和AB的距离；
(Ⅱ)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)； (Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ) 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, AC＝BC＝3，D为AB的中点，易知CD⊥AB.又侧棱垂直底面，从而有CC₁⊥CD，即CD为异面直线CC₁和AB的距离，计算其长度即可；(Ⅱ)易证CD垂直于侧面，从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．再根据相关条件求出△A₁DB₁各边，从而利用余弦定理求出所求角的余弦值即可.
试题解析：(Ⅰ)因AC＝BC，D为AB的中点，故CD⊥AB.
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，所以异面直线CC₁和AB的距离为CD＝＝.
5分
(Ⅱ)由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥面A₁ABB₁，从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．                              8分
又CD⊥，AB₁⊥A₁C，所以AB₁⊥平面,从而，都与互余，因此，所以∽，因此＝，得.从而A₁D＝＝2，B₁D＝A₁D＝2，
所以在△A₁DB₁中，由余弦定理得.       12分