精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
11-x
,对于n∈N+,定义f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],偶函数g(x)的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,g(x)=|f2009(x)|.
(1)求g(x);
(2)若存在实数a,b(a<b)使得该函数在[a,b]上的最大值为ma,最小值为mb,求非零实数m的取值范围.
分析:(1)根据已知条件推导出迭代函数以3为周期,f2009(x)=f2(x)=
x-1
x
.由此能求出求g(x).
(2)因为a<b,ma>mb>0,所以m<0,a<b<0;因为mb≠0,所以-1∉[a,b].所以a,b是方程1+
1
x
=mx的两不同实根,⇒x2-
1
m
x-
1
m
=0在(-∞,-1)
有两个不同实根,由此能求出非零实数m的取值范围.
解答:解:(1)因为f1(x)=f(x)=
1
1-x
f2(x)=f(f1(x))=
1
1-
1
1-x
=
x-1
x
f3(x)=f[f2(x)]=
1
1-
x-1
x
=x

f4(x)=f[f3(x)]=
1
1-x

∴迭代函数以3为周期,
f2009(x)=f2(x)=
x-1
x
.…(5分)
x<0,则-x>0,g(x)=g(-x)=|
-x-1
-x
|=|1+
1
x
|

所以g(x)=
|1+
1
x
|,x<0
|1-
1
x
|,x>0
…(9分)
如图:
(2)∵a<b,ma>mb>0
∴m<0,a<b<0;…(12分)
∵mb≠0,
∴-1∉[a,b](否则m=0,mb=ma=0,矛盾),
a<b<-1,则f(x)=1+
1
x
在(-∞,-1]上是减函数,由题意
1+
1
a
=ma
1+
1
b
=mb

所以a,b是方程1+
1
x
=mx的两不同实根,⇒x2-
1
m
x-
1
m
=0在(-∞,-1)
有两个不同实根,
△=
1
m2
+
4
m
>0
g(-1)=1+
1
m
-
1
m
>0⇒-
1
4
<m<0…((15分))
1
2m
<-1

当-1<a<b<0时,则f(x)=-1-
1
x
在(-1,0)上是增函数,由题意
-1-
1
a
=mb
-1-
1
b
=ma
⇒a=b不合.

综上所述-
1
4
<m<0
.(19分).
点评:本题考查函数的周期性和函数最值的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.易错点是综合性强,难度大,基础不牢,找不准解题思路.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案