Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 （t为参数）．
（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换 得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵直线l的参数方程为 （t为参数）．

∴消去数t，得直线l的一般方程为 ，

∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，

∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

∵圆心（2，3）到直线l的距离d= =r，

∴直线l和曲线C相切．

（II）曲线D为x2+y2=1．

曲线D经过伸缩变换 ，得到曲线E的方程为 ，

则点M的参数方程为 （θ为参数），

∴ ，

∴ 的取值范围为[﹣2，2]．

【解析】（I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换 ，得到曲线E的方程为 ，从而点M的参数方程为 （θ为参数），由此能求出 的取值范围．