Question

已知函数f（x）=2asin²x+2，（a＞0，x∈R），当x∈[0，]时，其最大值为6，最小值为3，
（1）求函数的最小正周期；
（2）写出函数的单调递减区间；
（3）求a，b的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2asin²x+2asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+asin2x+a+b
=2asin（2x-）+2a+b
∴T=π
（2）∵a＞0，
令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z
解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z
∴单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
（3）x∈[0，]时，
2x-∈[-，]
则有：sin（2x-）∈[-，1]，
又∵当x∈[0，]时，最大值为6，最小值为3
即a+b=3，4a+b=6，
则 a=1，b=2为所求．
分析：（1）由已知中函数f（x）=2asin²x+2，根据降幂公式（逆用二倍角公式）及辅助角公式，可将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据T=，求出函数的最小正周期；
（2）根据正弦函数的性质，及（1）中所得的函数的解析式，结合a＞0，可以构造一个关于x的不等式，解不等式求出满足条件的x的取值范围，即可得到函数的单调递减区间；
（3）根据（2）中所得的函数的单调区间，结合x∈[0，]，可得当X=0时，函数f（x）取最大值6，当X=时，函数f（x）取最小值3，由此可以构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出求a，b的值．
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，其中根据降幂公式（逆用二倍角公式）及辅助角公式，我将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答本题的关键．