Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AP=B₁Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB₁A₁的中心．求证：
（1）MN∥平面B₁D₁；
（2）MN∥A₁C₁．

Answer 1

分析：（1）要证MN∥平面B₁D₁，只需证明MN平行于该平面内的一条直线即可，连结PM并延长交A₁B₁于G，连结GQ后可得MN平行于GQ，由线面平行的判定克的结论；
（2）由三角形全等可得AP=GB₁，则GB₁=B₁Q，由平行线截线段成比例定理可得GQ∥A₁C₁，再由平行公理可得结论．

解答：证明：（1）如图，

连结PM并延长交A₁B₁于G，连结GQ，因为N是PQ的中点，M是正方形ABB₁A₁的中心，
所以MN∥GQ，因为GQ?面B₁D₁，MN?面B₁D₁，所以MN∥平面B₁D₁；
（2）因为M是正方形ABB₁A₁的中心，所以△PBM≌△A₁GM，所以AP=GB₁，
又AP=B₁Q，GB₁=B₁Q，所以GQ∥A₁C₁，
又MN∥GQ，所以MN∥A₁C₁．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面平行的性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是创设判定定理成立的条件，是中档题．