Question

下列命题中的真命题的个数是（　　）
（1）命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题为“若x=1，则x²+x-2≠0”；
（2）若命题p：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1，则￢p：?x∈（0，+∞），（

1

2

）^x＜1；
（3）设命题p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀，命题q：?x∈（0，

π

2

），tanx＞sinx则p∧q为真命题；
（4）设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分条件．

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

Answer 1

分析：（1）否定原命题的题设做题设，否定原命题的结论做结论，就得到原命题的否命题．据此即可进行判断；
（2）根据命题：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≥“改为“＜”即可进行判断；
（3）根据对数的运算性质，我们可以判断出命题p的真假，根据三角函数的性质，可以判断出命题q真假，再由复合命题p∧q的真值表进行判断即可；
（4）由于a²+b²＜1表示以原点为圆心以1的半径的圆内各点，ab+1＞a+b即（a-1）（b-1）＞0，画出其表示的区域，根据图形，结合两个范围的包含关系，分别判断a²+b²＜1⇒ab+1＞a+b与ab+1＞a+b⇒a²+b²＜1的真假，然后根据充要条件的定义，即可进行判断．

解答：解：（1）∵x=1的否定是x≠1，
x²+x-2=0的否定是x²+x-2≠0，
∴命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题为：
“若x≠1，则x²+x-2≠0”；故（1）是假命题．
（2）∵命题p：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1，是特称命题
∴命题的否定为?x∈（-∞，0]，（

1

2

）^x＜1．故（2）是假命题；
（3）∵命题p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀为真命题，
命题q：?x∈（0，

π

2

），tanx＞sinx也为真命题，
∴命题“p∧q”是真命题，故（3）为真；
（4）∵a²+b²＜1时，（a，b）在以原点为圆心以1的半径的圆内，
ab+1＞a+b即（a-1）（b-1）＞0，画出其表示的区域（阴影部分），
∵a²+b²＜1时，（a，b）在以原点为圆心以1的半径的圆内，
此时ab+1＞a+b一定成立，
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1的必要条件；
但当ab+1＞a+b时，a²+b²＜1不一定成立
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1的不充分条件；
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1成立的必要不充分条件，故（4）正确命题．
命题中的真命题的是（3），（4）．
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用、四种命题的相互转化，这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．属基础题．