Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用离心率及解出和得到椭圆的标准方程；第二问，先设出直线的方程，因为直线与椭圆相交，消参得关于的方程，因为相交于2个交点，所以得到的取值范围，设出点坐标，则求出两根之和、两根之积及，所以，将上述的条件代入，得到的表达式，求最值；第三问，先通过对称，得到点的坐标，列出直线的方程，令，得的值正好得1，所以得证.
试题解析：(1)解：由题意知，∴，即，
又，∴，
故椭圆的方程为 .    2分
(2)解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得：，      4分
由得：，
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　①
∴，
∴
∵，∴，∴，
∴的取值范围是.
（3）∵两点关于轴对称，∴，
直线的方程为，令得：
又，，∴，
由将①代入得：，∴直线与轴交于定点.