Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=a，动点P，Q同时从A出发，沿周界运动，点P沿A→B→C；动点Q沿A→C→B运动到相遇时停止，它们的速度之比是1：3，点P走过的路程为x，△APQ的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并求出定义域．

Answer 1

分析 先根据点Q的位置进行分类讨论，然后分别求出三角形的面积，从而可得函数f（x）的解析式，定义域．

解答 解：因为AP=x，动点Q的速度是动点P的运动速度的3倍，
所以AQ=3x，当点Q在线段AC上时，0＜x≤$\frac{1}{3}$时，三角形APQ为直角三角形，S=$\frac{1}{2}$x•3x=$\frac{3}{2}$x²；
当点Q在线段CB上时，$\frac{1}{3}$＜x≤1时，作出示意图如下：

△APQ的高为 $\frac{BQ}{BC}$×AC=$\frac{3-2x}{2}$$\frac{3-2x}{2}$×1=$\frac{3-2x}{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{3-2x}{2}$=$\frac{3x-{3x}^{2}}{4}$；
当Q在线段AB上时，不能构成三角形，
所以函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{3}{2}x}^{2}，（0＜x≤\frac{1}{3}）}\\{\frac{3x-{3x}^{2}}{4}，（\frac{1}{3}＜x≤1）}\end{array}\right.$．
函数的定义域是：（0，1]．

点评 本题主要考查了分段函数的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．