Question

（本小题满分12分）现有一张长为40dm，宽为20dm的长方形铁皮，准备通过分割、焊接成一个无盖的长方体水箱（损耗忽略不计）。 （1）若从长方形的四个角各截去一个边长为dm的小正方形，再把四边向上翻转角，焊接成一个无盖的长方体水箱，求：水箱容积的最大值。（2）设（1）中水箱容积的最大值为M，你是否还有其它的设计方案，使你的设计中得到的长方体水箱的容积比M还大？若有，写出你的设计方案，并求出它的容积；若没有，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 见解析 

解析:

（1）设截去的小正方形的边长为dm，则长方体水箱的底面边长分别为，，高为dm.又设它的容积为，（……………2分）

则（………4分）

令  则

   又只有一个极值，∴它是最大值

当时，

即水箱容积的最大值为（…………………………6分）

（2）还有其它的设计方案（…………………………8分）

方案一：如图，将切割的两个边长为5dm的小正方形拼在对边中间，再将四边折起焊接成如图的长方体水箱

（…………………………12分）

方案二：如图，将切割的两个边长为10dm的小正方形拼在对边中间，再将四边折起焊接成如图的长方体水箱

（…………………………12分）

方案三：如图，将长方形20×40切割成四个5×20的小长方形，剩下一个20×20的小正方形，按如图拼接，再将四边折起焊接成如图的长方体水箱

（…………………………12分）