Question

在四边形ABCD中，AB=BC，AD∥BC，且AD=2

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，AB=4，BD=2，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使AB⊥CD．
（1）求折后AB与平面BCD所成的角的余弦值；
（2）求折后点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析：（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，则∠ABO为AB与平面BCD所成角．由AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，知CD⊥BO．由cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，得cos∠ABD=60°，cos∠DBO=30°，由此能求出折后AB与平面BCD所成的角的余弦值．
（2）连接AC，在Rt△ABO中，AB=2，cos∠ABO=

3

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，故sin∠ABO=

6

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，AO=

2 6

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，由V_A-BCD=V_C-ABD，S_△ABD=S_△BCD，能求出C到平面ABC的距离．

解答：解：（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，
则∠ABO为AB与平面BCD所成角．（2分）
∵AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，
∴CD⊥BO（4分）
∵cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，
∴cos∠ABD=60°，cos∠DBO=30°，
∴cos∠ABO=

3

3

所以，折后AB与平面BCD所成的角的余弦值为

3

3

（6分）
（2）连接AC，在Rt△ABO中，AB=2，cos∠ABO=

3

3

，
∴sin∠ABO=

6

3

．
∴AO=

2 6

3

（8分）
∵V_A-BCD=V_C-ABD，S_△ABD=S_△BCD（10分）
所以，C到平面ABC的距离等于AO=

2 6

3

（12分）

点评：本题考查折后AB与平面BCD所成的角的余弦值的求法，求折后点C到平面ABD的距离．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．