Question

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（

π

12

）=0；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
⑤函数f（x）=

sinx

2+cosx

的单调递增区间是（2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈Z）．
其中真命题为

 

．（填序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：分别利用导数的运算以及导数的应用进行判断即可．

解答： 解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①错误．
②因为h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′(

π

12

)=-2sin(2×

π

12

)=-2sin

π

6

=-2×

1

2

=-1，所以②错误．
③因为g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=1×2×…×2012=2012!，所以③正确．
④三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的导数为f′（x）=3ax²+2bx+c，（a≠0），若f（x）有极值点，则判别式△=4b²-12ac＞0，
即b²-3ac＞0，故所以④错误．
⑤函数的导数为f′(x)=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

1+2cosx

(2+cosx)2

，
由f′(x)=

1+2cosx

(2+cosx)2

＞0得1+2cosx＞0，即cosx＞-

1

2

，所以2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z，所以⑤正确．
故答案为：③⑤．

点评：本题主要考查与导数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握导数的运算以及导数的应用，比较综合．