Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b（x∈R）．已知

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，若|

MN

|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x²-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：A（1，0），B（3，2）．可得M（3-2λ，4λ²-6λ+2）．

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

=（3-2λ，2-2λ），得到

MN

=（0，-4λ²+4λ）．由于函数y=x²-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，因此|

MN

|≤k恒成立，于是k≥|4λ²-4λ|_max．由于0≤λ≤1，即可得出|4λ²-4λ|_max．

解答： 解：A（1，0），B（3，2）．
∴x_M=λ+3（1-λ）=3-2λ，y_M=（3-2λ）²-3（3-2λ）+2=4λ²-6λ+2．
∴M（3-2λ，4λ²-6λ+2）．

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

=λ（1，0）+（1-λ）（3，2）=（3-2λ，2-2λ），
∴

MN

=（0，-4λ²+4λ）．
∵函数y=x²-3x+2在[1，3]上k阶线性相似，
∴|

MN

|≤k恒成立，∴k≥|4λ²-4λ|_max．
∵0≤λ≤1，∴|4λ²-4λ|_max=1．
则实数k的取值范围为k≥1．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查了新定义、向量的线性运算、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．