Question

已知复数z=

2+4i

1+i

的实部与虚部分别是等差数列{a_n}的第二项与第一项，若bn=

1

an•an+1

数列{b_n}的前n项和为T_n，则

lim

n→∞

Tn=（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、1

Answer 1

分析：先由复数的运算法则求出a₁和a₂，由此求出a_n，从而得到b_n，再由裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n，由此能够求出

lim

n→∞

Tn．

解答：解：∵z=

2+4i

1+i

=3+i，∴a₁=1，a₂=3，∴公差d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+b₂+…+b_n
=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

．
故选B．

点评：本题考查数列的极限和复数的概念，解题时要注意裂项求和法的合理运用．