Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l₀：x=x₀（其中x₀＞2），问A，B到l₀的距离d_A，d_B满足：$\frac{{d}_{A}}{{d}_{B}}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立？若存在，求x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆联立，得$（{k}^{2}+\frac{1}{4}）{x}^{2}-2{k}^{2}x+{k}^{2}-1=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（{k}^{2}+\frac{1}{4}）{x}^{2}-2{k}^{2}x+{k}^{2}-1=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
△＞0，
∵$\frac{{d}_{A}}{{d}_{B}}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立，
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{（{x}_{1}-1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{（1-{x}_{2}）\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴2x₁x₂-（1+x₀）（x₁+x₂）+2x₀=0，
将x₁+x₂与x₁x₂的值代入得2x₀-8=0，
解得x₀=4．
∴存在直线l₀：x=x₀（其中x₀＞2），使A，B到l₀的距离d_A，d_B满足：$\frac{{d}_{A}}{{d}_{B}}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立，且x₀的值为4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用．