Question

已知函数f(x)=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

(

π

3

≤x≤

11π

24

)．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的两边长分别为函数f（x）的最大值与最小值，且△ABC的外接圆半径为

3 2

4

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用辅助角公式、二倍角公式化简函数，即可求函数f（x）的值域；
（2）不妨设a=

3

，b=2，利用△ABC的外接圆半径为

3 2

4

，求出sinA，sinB，进而求出sinC，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∵

π

3

≤x≤

11π

24

，
∴

π

3

≤2x-

π

3

≤

7π

12

，
∴

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴

3

≤2sin（2x-

π

3

）≤2，
∴函数f（x）的值域为[

3

，2]；
（2）不妨设a=

3

，b=2，
∵△ABC的外接圆半径为

3 2

4

，
∴sinA=

a

2r

=

6

3

，sinB=

b

2r

=

2 2

3

，
∴cosA=

3

3

，cosB=

1

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

6

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

•2•

6

3

=

2

．

点评：本题考查利用辅助角公式、二倍角公式化简函数，考查正弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．