Question

12．在数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{2}{{n}^{2}+2n}$，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+$\frac{2}{{n}^{2}+2n}$，得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，然后利用累加法求数列的通项公式．

解答 解：由a_n+1=a_n+$\frac{2}{{n}^{2}+2n}$，得a_n+1-a_n=$\frac{2}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴${a}_{2}-{a}_{1}=1-\frac{1}{3}$，
${a}_{3}-{a}_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$，
${a}_{4}-{a}_{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，
…
${a}_{n-1}-{a}_{n-2}=\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}$，
${a}_{n}-{a}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$．
累加得：${a}_{n}-{a}_{1}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{（n-1）（3n+2）}{2n（n+1）}$．
∴${a}_{n}=\frac{5{n}^{2}+n-2}{2{n}^{2}+2n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．