Question

双曲线4x²-9y²=36上一点P，与两焦点F₁F₂构成△PF₁F₂，则△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂的切点N的坐标为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点N的横坐标，由圆的切线性质|PF₁-PF₂|=|F_IM-F₂Q|=|F₁N-F₂N|=6，由于F₁N+F₂N=F₁F₂=2c，即可解出ON．

解答： 解：双曲线4x²-9y²=36即为

x2

9

-

y2

4

=1，
设△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂的切点N，与边PF₁的切点为M，与边PF₂上的切点为Q，
则△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．
由双曲线的定义，|PF₁-PF₂|=2a=6．
由圆的切线性质|PF₁-PF₂|=|F_IM-F₂Q|=|F₁N-F₂N|=6，
∵F₁N+F₂N=F₁F₂=2c=2

13

，∴F₂N=3+

13

，或-3+

13

，ON=3，
即N的横坐标为±3．
故答案为：（3，0）或（-3，0）．

点评：本题考查双曲线的方程和定义及性质，巧妙地借助于圆的切线的性质，属于中档题．