Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（-x）=f（x），且对于任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数f（x）为偶函数，在（-∞，0]上是减函数，从而函数在[0，+∞）上是增函数，
故由不等式可得|m+1|＜2，由此求得m的范围．

解答： 解：由f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），
再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
故函数在（-∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，
故由f（m+1）＜f（2），
∴f（|m+1|）＜2
∴|m+1|＜2
可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，
故答案为：（-3，1）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到|m+1|＜2是解题的关键，属于中档题．