Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤a＜π）．
（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出顶点和焦点；
（2）化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到斜率，再联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，即为（ρsinθ）²=4ρcosθ，
化为直角坐标方程为：y²=4x，表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤a＜π）．
化为普通方程为：y=tanα•x+1，（0≤α＜π），
由于直线l经过点（1，0），则tanα=-1．
即直线l：y=1-x，代入抛物线方程：y²=4x，消去y，得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
则|AB|=

1+(-1)2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

62-4

=8．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长的方法，考查运算能力，属于中档题．