Question

19．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求直线MD与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点O，连结OP，OC，证明AD⊥平面OPC即可得出PC⊥AD；
（2）取OC的中点N，连结MN，DN，可证MN⊥平面ABCD，故而∠MDN为DM与平面ABCD所成的角，利用勾股定理计算DN，DM得出cos∠MDN．

解答 解：（1）取AD的中点O，连结OP，OC，
∵底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△ACD是等边三角形，
又侧面PAD是边长为2的正三角形，O为AD的中点，
∴OP⊥AD，OC⊥AD，
又OP?平面OPC，OC?平面OPC，OP∩OC=O，
∴AD⊥平面OPC，又PC?平面OPC，
∴AD⊥PC．
（2）取OC的中点N，连结MN，DN，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD，
∵M，N分别是PC，OC的中点，
∴MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MDN为DM与平面ABCD所成的角，
∵△APD，△ACD是边长为2的等边三角形，
∴OC=OP=$\sqrt{3}$，OD=1，∴MN=ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DN=$\sqrt{O{N}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴DM=$\sqrt{M{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴cos∠MDN=$\frac{DN}{DM}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．