Question

完成下列各题：
（Ⅰ）求函数f（x）=

3 -tanx

的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）=

sinx+1

cosx+3

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：数形结合,函数思想,函数的性质及应用

分析：（1）3-tanx≥0，解不等式得：kπ-

π

2

＜x≤kπ+

π

3

，即可得到答案．
（2）运用数形结合的思想解决．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3 -tanx

的定义域

3

-tanx≥0，解不等式得：kπ-

π

2

＜x≤kπ+

π

3

，k∈Z
函数f（x）=

3 -tanx

的定义域：（kπ-

π

2

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
（2））

sinx+1

cosx+3

几何意义为：点（cosx，sinx），点（-3，-1）两点连线的斜率，点（cosx，sinx）为单位圆上的点．

设斜率为k，则切线方程为kx-y+3k-1=0，
根据直线与圆的位置关系得：

|3k-1|

k2+1

=1，
解得：k=0，k=

3

4

，
有图形可判断：
函数f（x）=

sinx+1

cosx+3

的值域为[0，

3

4

]

点评：本题综合考查了不等式在求解定义域中的运用，运用数形结合的思想求解函数值域．