Question

下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

• A、f（x）=x

  1

  2

• B、f（x）=x³
• C、f（x）=(

  1

  2

  )x
• D、f（x）=3^x

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项．再根据指数函数的单调性即可得答案

解答： 解：对于选项A：

1

2

(x+y)

1

2

≠x

1

2

•y

1

2

=，∴选项A不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
对于选项B：（x+y）³≠x³y³，∴选项B不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
对于选项C：(

1

2

)x+y=(

1

2

)x•(

1

2

)y，∴选项C满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=(

1

2

)x为单调递减函数，
对于选项D：3^x•3^y=3^x+y，∴选项D满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=3^x为单调递增函数
故选D．

点评：本题考查了有理指数幂的运算性质，考查了基本初等函数的运算性质，是基础题．