Question

如图，P，Q，R分别是三棱椎A-BCD的棱AC，BC，BD的中点，过三点P，Q，R的平面交AD于S．求证：四边形PQRS是平行四边形．

Answer 1

分析：证明AB∥平面PQRS，可得AB∥RS，再利用三角形中位线的性质，可得RS∥PQ，且RS=PQ，从而可得结论．

解答：证明：∵P为AC的中点，Q为BC的中点，
∴PQ∥AB，且PQ=

1

2

AB．…（1分）
∵PQ?平面PQRS，AB?平面PQRS，
∴AB∥平面PQRS．…（3分）
∵平面PQRS∩平面ABD=RS，AB?平面ABD，
∴AB∥RS．…（5分）
∵R为BD中点，
∴S为AD中点．…（6分）
∴RS∥AB，且RS=

1

2

AB．
∴RS∥PQ，且RS=PQ．
∴PQRS为平行四边形．…（8分）

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．