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已知等腰梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=1,高DO=1.以高线DO为折痕,将平面ADO折起,使得平面ADO⊥平面BCDO,点H为棱AC的中点.
(1)求直线OC与直线AB所成的余弦值;
(2)求平面ADO与平面ACB所成的锐二面角的余弦值;
(3)在平面ADO内找一点G,使得GH⊥平面ACB.
(1)以O为原点,OD、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴建立直角空间坐标系.
则C(1,1,0),A(0,0,1),B(0,2,0),H(
1
2
1
2
1
2
)
…(3分)∴
OC
=(1,1,0),
AB
=(0,2,-1)
cos<
OC
AB
>=
10
5
…(5分)
直线OC与直线AB所成的余弦值为
10
5

(2)设
n
=(x,y,z)
是平面ACB的一个法向量,又
AC
=(1,1,-1),
AB
=(0,2,-1)

x+y-z=0
2y-z=0
不妨取y=1,则
n
=(1,1,2)
…(7分)
又平面ADO的一个法向量为
OB
=(0,2,0)

cos<
n
OB
>=
6
6
,即为所求…(10分)
(3)设G(x,0,z),则
GH
=(x-
1
2
,-
1
2
,z-
1
2
)
,…(12分)
要使GH⊥平面ACB,则
GH
n
,所以则G(0,0,-
1
2
)
…(15分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E,F分别为线段PB,PC的中点,且AD=4,PA=AB=2
(1)求直线EC和面PAD所成的角
(2)求点P到平面AFD的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦.

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是(  )
A.
10
5
B.
10
10
C.
1
3
D.
2
2
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=
2
,∠ABD=90°,将它们沿对角线BD折起,折后的点C变为C1,且AC1=2.
(1)求证:平面ABD⊥平面BC1D;
(2)E为线段AC1上的一个动点,当线段EC1的长为多少时,DE与平面BC1D所成的角为30°?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知如图,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABD=45°,∠CBD=30°.
(Ⅰ)异面直线AB、CD所成的角为α,异面直线AC、BD所成的角为β,求证:α=β;
(Ⅱ)求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为正方形,EC⊥平面ABCD,AB=
2
,CE=1,G为AC与BD交点,F为EG中点,
(Ⅰ)求证:CF⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-BE-D的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(   )
A.无论k,如何,总是无解B.无论k,如何,总有唯一解
C.存在k,,使之恰有两解D.存在k,,使之有无穷多解

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

化简(  )
A.B.C.D.

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