Question

19．已知命题p：（$\frac{1}{3}$）${\;}^{a-{a}^{2}}$＜9，q：|2a-1|＜4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先根据指数函数的单调性、绝对值不等式的解的情况，求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假，得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可．

解答 解：若命题p：（$\frac{1}{3}$）${\;}^{a-{a}^{2}}$＜9=（$\frac{1}{3}$）^-2为真命题，
则a-a²＞-2，解得：a∈（-1，2），
若命题q：|2a-1|＜4为真命题，
则-4＜|2a-1|＜4，解得a∈（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假；
当p真q假时，a∈（-1，2），且a∉（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），不存在 满足条件的a值；
当p假q真时，a∉（-1，2），且a∈（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
则a∈（-$\frac{3}{2}$，-1]∪[2，$\frac{5}{2}$）．

点评 考查指数函数的单调性，绝对值不等式解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．