Question

【题目】已知几何体中，，，，面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角E－BD－F的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由勾股定理逆定理证得，再由已知得平面，，从而有线面垂直，得面面垂直；

（2）分别以DA、DC所在直线为轴、轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为轴，建系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意判断二面角是锐角还是钝角）．

（1）证明：在直角梯形中由已知可得

，且面，

平面，

面，，

，面，面

∴面

且面，故面面；

（2）分别以DA、DC所在直线为轴、轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为轴，建系如图

，

则，

设面DEB的法向量为，

则，

取，则，故

设面DBF的法向量为，则，

取，则，故

则，

由图可得二面角E-BD-F的余弦值为．