Question

6．设空间向量$\overrightarrow{AB}$=（m，m，1），$\overrightarrow{CD}$=（1，0，n-1）．
（1）若A、B、C、D四点共面，且平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{a}$=（4，2，-1），求$\frac{n}{m}$的值
（2）若m＞0．n＞0，且$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，求mn的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$的一个法向量为$\overrightarrow{a}$，
得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{a}$=0，列方程组求出m、n的值；
（2）根据$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$时$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=0，得出m+n=1，
利用基本不等式求出mn的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（m，m，1），$\overrightarrow{CD}$=（1，0，n-1），
且平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{a}$=（4，2，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{a}$=0，
∴4m+2m-1=0且4-（n-1）=0，
解得m=$\frac{1}{6}$或n=5，
∴$\frac{n}{m}$=30；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=0，
∴m+n-1=0，
即m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2$\sqrt{mn}$，
即mn≤$\frac{1}{4}$，
当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时取“=”；
∴mn的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了空间向量的数量积与基本不等式的应用问题，是综合题．