Question

17．在ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对应的边，若acosB+bcosA=$\frac{c}{2cosC}$．
（1）求C；
（2）若$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA），求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化边为角，即可得C．
（2）根据向量乘积的运算求出$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的解析式，化简，利用三角函数有界限求出取值范围．

解答 解：（1）由已知acosB+bcosA=$\frac{c}{2cosC}$
由正弦定理划边为角：sinAcosB+sinBcosA=$\frac{sinC}{2cosC}$
可得：sinC=$\frac{sinC}{2cosC}$，
∵0＜C＜π，sinC≠0
得cosC=$\frac{1}{2}$
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin²B-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+cosBsinA
=$\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sin2B）-\frac{3\sqrt{3}}{4}$+cosB•sin（$\frac{2π}{3}-B$）=$\frac{1}{4}sin2B+\frac{\sqrt{3}}{4}cos2B$=$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{3}$）
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{3}＜2B-\frac{π}{3}＜π$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{3}$）≤1
故得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围为（$-\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了正弦定理的运用和向量乘积的运用，三角函数的化解能力和利用三角函数的有界限求解范围．属于中档题．