Question

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边为a、b、c．且$\frac{cosA}{cosC}=\frac{a}{2b-c}$
（1）求角A的值；
（2）设a=2，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）边化角的思想，利用正弦定理和三角形内角和定理，可得角A的值；
（2）边化角的思想，利用三角函数的有界限可得面积的取值范围．

解答 解：（1）∵$\frac{cosA}{cosC}=\frac{a}{2b-c}$，
由正弦定理可得：$\frac{cosA}{cosC}=\frac{sinA}{2sinB-sinC}$
∴2cosAsinB-cosAsinC=sinAcosC，
2cosAsinB=sin（A+C）=sinB．
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$a=2，A=\frac{π}{3}，由正弦定理得：\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴$b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinB，c=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinC$．
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsinC$$S=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsin（{\frac{2π}{3}-B}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$2B-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
∴$sin（2B-\frac{π}{6}）∈（-\frac{1}{2}，1]$
∴$S∈（0，\sqrt{3}]$．
即△ABC面积的取值范围为（0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于中档题．