Question

15．已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）²+（y-3）²的最小值是2．

Answer 1

分析 根据|x|+|y|≤4，表示以（0，0）为中心，边长为4正方形内部就是所求区域，z=（x+3）²+（y-3）²的表示为（-3，3）为圆心，半径为$\sqrt{z}$的圆．当正方形与圆只有一个点时（外接），可得z最小值．可得答案．

解答 解：由题意，|x|+|y|≤4，表示以（0，0）为中心，边长为4的正方形内部就是所求区域，z=（x+3）²+（y-3）²的表示为（-3，3）为圆心，$\sqrt{z}$为半径，当正方形与圆只有一个点时（外接），圆心到原点的距离为：3$\sqrt{2}$．
可得：$\sqrt{z}$=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$
∴z=2，即z=（x+3）²+（y-3）²的最小值为2．
故答案为：2

点评 本题考查了圆与圆之间的位置关系，最值的问题．属于中档题．