Question

6．函数y=5$\sqrt{2x-1}$+$\sqrt{10-2x}$的最大值为3$\sqrt{26}$，此时x=$\frac{251}{52}$（利用柯西不等式）

Answer 1

分析 利用柯西不等式得：[5²+1²][（$\sqrt{2x-1}$）²+（$\sqrt{10-2x}$）²]≥（5$\sqrt{2x-1}$+1×$\sqrt{10-2x}$）²即可

解答 解：由柯西不等式得：[5²+1²][（$\sqrt{2x-1}$）²+（$\sqrt{10-2x}$）²]≥（5$\sqrt{2x-1}$+1×$\sqrt{10-2x}$）²
∴（5$\sqrt{2x-1}$+$\sqrt{10-2x}$）²≤26×9，
∴5$\sqrt{2x-1}$+$\sqrt{10-2x}$≤3$\sqrt{26}$，当且仅当5$\sqrt{10-2x}$=1×$\sqrt{2x-1}$时，取等号，即x=$\frac{251}{52}$时取等号．
故答案为：3$\sqrt{26}$，$\frac{251}{52}$

点评 本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．