Question

7．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=$\frac{1}{x}$是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
（3）设函数f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$属于集合M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）计算是否存在存在x₀即可判断；
（2）函数f（x）=kx+b属于集合M，必满足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．待定系数法可得实数k和b满足的约束条件；
（3）函数f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$属于集合M，必满足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．即可实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{x}$，
（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，即${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1=0$，
∵△＜0，
∴不存在存在x₀．
（2）f（x）=kx+b属于集合M，
由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
可得：k（x+1）+b=kx+b+k+b，即kx+k+b=kx+k+2b，
∴k∈R，b=0．
（3）f（x）=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$，
由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
可得：lg$\frac{a}{{（x+1）}^{2}+1}$=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$+lg$\frac{a}{2}$
∴lg$\frac{a}{{（x+1）}^{2}+1}$=lg$\frac{a}{{x}^{2}+1}$+lg$\frac{a}{2}$，
∴$a=\frac{2{x}^{2}+2}{（x+1）^{2}+1}$．
∵在定义域D内存在x₀，
∴令$y=\frac{2{x}^{2}+2}{（x+1）^{2}+1}$．
则yx²+2xy+2y=2x²+2，
即（y-2）x²+2xy+2y-2=0，
∵y≠2，△≥0．
∴$3-\sqrt{5}≤y≤\sqrt{5}+3$．
故得实数a的取值范围[$3-\sqrt{5}$，$3+\sqrt{5}$]．

点评 本题考查对新定义的理解和运用．抓住题中的特点、方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、函数不等式于一体的综合问题．