【题目】如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
【答案】(1)+y2=1(2)证明见解析,定点N.
【解析】
(1)利用直线AF与圆相切可求得a(圆心到直线的距离等于半径),从而得椭圆方程;
(2)由=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,设直线AP的方程为y=kx+1,代入椭圆方程可求得P点坐标,同理可得Q点坐标,写出直线PQ方程,化简后可知其所过定点.
(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心为M(3,1),半径为r=.
由A(0,1),F(c,0)(c=)得直线AF:+y=1,即x+cy-c=0.
由直线AF与圆M相切得=.
所以c=或c=-(舍去).所以a=,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,
由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0),
将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐标为,即.
将上式中的k换成-,得Q.
所以直线l的方程为y=·+,
化简得直线l的方程为y=x-.
因此直线l过定点N.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给定一个四面体,若存在一个侧面(其所在平面为),使得在将其余三个侧面分别绕其位于平面上的边向体外方向旋转至平面上时,四个侧面在平面上共同组成的图形恰好是一个三角形,则称该四面体是一个“平展四面体”.若有一个平展四面体,它的一个侧面的三边长为a、b、c,试确定a、b、c的关系,并求该四面体的体积(用a、b、c表示).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面内有12个点,其中任意三点不共线,每两点连一条线段(或边)。这些线段用红、蓝两色染色,每条线段恰染一色,其中,从某点出发的红色线段有奇数条,而从其余11个点出发的红色线段数互不相同。求以已知点为顶点、各边均为红色的三角形个数及两边为红色、另一边为蓝色的三角形个数。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数中第2014个数是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数;(按这个月总共有30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图 1,在直角梯形中, ,且.现以为一边向外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直, 为的中点,如图 2.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求与平面所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com