Question

【题目】平面内有12个点，其中任意三点不共线，每两点连一条线段（或边）。这些线段用红、蓝两色染色，每条线段恰染一色，其中，从某点出发的红色线段有奇数条，而从其余11个点出发的红色线段数互不相同。求以已知点为顶点、各边均为红色的三角形个数及两边为红色、另一边为蓝色的三角形个数。

Answer 1

【答案】40，55

【解析】

解法1 注意到从每点引出的红色线段只可能为0,1，…，11中的一种取值，而0、11不可能同时出现，从而，有两类可能情形：

（1）0,1，…，10；

（2）1,2，…，11.

若为情形（2），当点引出条红色线段时，不是整数.从而，只可能为情形（1）.

于是，除点外，另外11个点分别连出0,1，…，10条红色线段.

此时，不妨设点连出条红色线段（简称红边），连出条红边.则点与除了点外的其余10个点均连了红边；点与除了点外的其余9个点均连了红边.

依此类推，点与除点外的8个点连了红边；点与除点外的7个点连了红边；点与除点外的6个点连了红边.从而，点均为点连有红边.

由于点只连了5条红边（与已连了红边），则点不与点连红边.

同理，点均不与点连红边.

故点处连了5条红边.

令，.

则中任意两点无红边相连，而中任意两点均有红边相连，且中任一点恰与中个点连有红边.因此，以为顶点且三边均为红边的三角形不存在，以为顶点且三边均为红边的三角形有个，以中任意三点为顶点且三边均为红边的三角形有个.故三边均为红边的三角形个数为

.

两边为红边、另一边为蓝边的三角形分为两类：

（ⅰ）三角形的一个顶点，另两个顶点属于，且从中一点向中两点引出的两边是一红、一蓝（中两点连线皆为红边）.

这类三角形的个数为.

（ⅱ）三角形的一个顶点为（为或），另两个顶点属于，且从点向中两点所引的均为红边（中两点连线均为蓝边）.

这类三角形的个数为.

故两边为红色、另一边为蓝色的三角形有35+20=55个.

因此，所求个数分别为40、55.

解法2 同解法1知三边均为红色的三角形的个数为40.

对任何，以为一个顶点且与相连的两边均为红边的三角形的个数为，以为一个顶点且与相连的两边皆为红边的三角形的个数为，将所有这些三角形的个数加起来得.

在以上的和中，每一个具有两条红边、一条蓝边的三角形只被计算一次，每个三边均为红边的三角形均被计算三次，

从而，两边为红色、一边为蓝色的三角形个数为175-3×40=55，故所求个数分别为40、55.