【题目】如图,等腰直角中是直角,平面平面,,,.
(1)求证;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)由及为直角可得到,结合已知条件命题得证。
(2)作,连结.由(1)得: ,作,再证得:平面,则即为所求线面角. 解三角形BFH即可。
解:(1)证明:直角中∠B是直角,即,
, ,
,,
又,.
(2)方法一:作,连结.
由(1)知平面,
得到,又,所以平面.
又因为平面,所以平面 平面.
作于点H,易得平面,
则即为所求线面角.
设,由已知得,,
,,
.
则直线与平面所成角的正弦值为.
方法二:建立如图所示空间直角坐标系,
因为.
由已知,,,,
,
,,
设平面的法向量为,则有
,令,则.
即.
所以直线与平面所成角的正弦值.
方法三(等积法):设2AF=AB=BE=2,为等腰三角形,AB=BC=2
∠FAB=60°,2AF=AB ,又AF//BE,.
由(1)知,,
,,
,,
又,则有.
令到平面距离为,有,
故所求线面角.
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【题目】如图,一个圆锥形量杯的高为厘米,其母线与轴的夹角为.
(1)求该量杯的侧面积;
(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线上,刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的体积是多少.当液体体积是立方厘米时,刻度的位置与顶点之间的距离是多少厘米(精确到厘米)?
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1处取极小值,x=3处取极大值,且函数图象在(2,f(2))处的切线与直线x-5y=0平行.
(1)求实数abc的值;
(2)设函数f(x)=0有三个不相等的实数根,求d的取值范围.
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【题目】已知函数,其中实数a为常数.
(I)当a=-l时,确定的单调区间:
(II)若f(x)在区间(e为自然对数的底数)上的最大值为-3,求a的值;
(Ⅲ)当a=-1时,证明.
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【题目】在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分的分布列和数学期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.
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【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲,外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如表:
1日 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | |
外卖甲日接单(百单) | 5 | 2 | 9 | 8 | 11 |
外卖乙日接单(百单) | 2.2 | 2.3 | 10 | 5 | 15 |
(1)据统计表明,与之间具有线性相关关系.
(ⅰ)请用相关系数加以说明:(若,则可认为与有较强的线性相关关系(值精确到0.001))
(ⅱ)经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时,外卖甲所获取的日纯利润的大致范围:(值精确到0.01)
(2)试根据表格中这五天的日接单量情况,从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.
相关公式:相关系数,
参考数据:
.
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【题目】在地面上同一地点观测远方匀速垂直上升的热气球,在上午10点整热气球的仰角是,到上午10点20分的仰角变成.请利用下表判断到上午11点整时,热气球的仰角最接近哪个度数( )
0.5 | 0.559 | 0.629 | 0.643 | 0.656 | 0.669 | 0.682 | 0.695 | 0.707 | |
0.866 | 0.829 | 0.777 | 0.766 | 0.755 | 0.743 | 0.731 | 0.719 | 0.707 | |
0.577 | 0.675 | 0.810 | 0.839 | 0.869 | 0.900 | 0.933 | 0.966 | 1.0 |
A. B. C. D.
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【题目】平面内有12个点,其中任意三点不共线,每两点连一条线段(或边)。这些线段用红、蓝两色染色,每条线段恰染一色,其中,从某点出发的红色线段有奇数条,而从其余11个点出发的红色线段数互不相同。求以已知点为顶点、各边均为红色的三角形个数及两边为红色、另一边为蓝色的三角形个数。
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