Question

【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1处取极小值，x=3处取极大值，且函数图象在(2，f(2))处的切线与直线x-5y=0平行.

（1）求实数abc的值;

（2）设函数f(x)=0有三个不相等的实数根，求d的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）对函数求导可得，，由题意可得，所以，．联立可求，，

（2）由（1）可得，由和分别是函数的极小值点和极大值点，判断可得方程有三个不相等的实数根的充要条件为，代入可求.

（1），函数图象在的切线与直线x-5y=0平行，

①

由题意可知，1和3为方程的两根，所以：

②

③

由①②③解得.

（2）由(1)得，

x=1和x=3分别是函数f(x)的极小值点和极大值点，

当时，；当时，

所以方程f(x)=0有三个不相等的实数根的充要条件为：，

即，解得

所以d的取值范围为.