Question

【题目】已知正四面体ABCD的棱长为2，球O与四面体的面ABC和面DBC都相切，其切点分别在△ABC和△DBC内(含边界)，且球O与棱AD相切.

（1）证明：球O的球心在棱AD的中垂面上；

（2）求球O的半径的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）设AD的中点为E，联结EB、EC.

由△CAD、△BAD都为正三角形知，AD⊥EC，AD⊥EB.所以，AD⊥平面BEC，即平面BEC为AD的中垂面.又易知平面BEC为二面角A-BC-D的平分面.

设P为平面BEC内任一点，PQ⊥面ABC于Q，PR⊥面DBC于R.则BC⊥PQ，BC⊥PR.故BC⊥面PQR.设BC交面PQR于H，联结PH、QH、RH.则PH⊥BC，QH⊥BC，RH⊥BC，∠OHR为二面角A-BC-D的平面角，PH平分∠OHR.从而，

Rt△PQH≌Rt△PRH，PQ=PR.

反之，若PQ=PR，则P在平面BEC内.

由于球心到平面ABC与平面DBC的距离相等，故球心O在平面BEC上.

（2） 如图，设BC中点为F，联结AF、DF、EF.

设∠AFD=2a，易得.

设球O与平面ABC和平面DBC的切点分别为M、N，AM交BC于G，联结GD.

由对称性知点N在GD上.

作EE’⊥F’D于E’，易知EE’⊥平面DBC，

且.

作NN’⊥BC于N’.设N’G= x，∠DGF=θ(-60°≤θ≤60°).

则.

故.

设球O的半径为r，则

又在中，，所以，，

即.

代入式①化简得.

从而，.

解得.

此吋，.

由，得.

即.

解得.

由切点在△4BC及△DBC内知.