Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的普通方程；

（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(I)设出点的坐标，根据两个向量相等的坐标表示，求得点的坐标，消去参数后得到的普通方程.（II）方法一：先求得直线的直角坐标方程，联立直线的方程和的方程，求得交点的坐标，利用两点间的距离公式求得的长，进而求得的值.方法二：先求出直线的参数方程，将参数方程代入的方程，利用直线参数的几何意义，求得的值.

（Ⅰ）设，.

∵∴，消去得的普通方程为.

（Ⅱ）法一：直线的极坐标方程，即.

∵，，得直线的直角坐标方程为.

∴，由得，∴，.

∴，，∴.

法二：直线的极坐标方程，即.

∵，，得直线的直角坐标方程为.

∴.∵直线的倾斜角为，

∴可得直线的参数方程为（为参数）.

代入，得，设此方程的两个根为，，则.

∴.