Question

若定义在R上的函数f（x）满足f（λx+μy）=λf（x）+μf（y）（x，y，λ，μ均为实数），则称f（x）为R上的线性变换，现有下列命题：
①f（x）=2x是R上的线性变换；②若f（x）是R上的线性变换，则f（kx）=kf（x）（k∈R）；③若f（x）和g（x）均是R上的线性变换，则f（x）+g（x）是R上的线性变换；④f（x）是R上的线性变换的充要条件是f（x）是R上的一次函数．
其中是真命题的是    ．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

【答案】分析：根据题目中新定义的线性变换的概念本质进行求解转化是解决本题的关键，利用线性变换的定义完成四个命题的诊断．真命题的要加以证明，假命题要举个反例．
解答：解：对于①，由于f（x）=2x，则f（λx+μy）=2λx+2μy，而λf（x）+μf（y）=2λx+2μy，所以f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），故①为真命题；
对于②，由于f（x）是R上的线性变换，则对任意的实数x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），令μ=0得，f（λx）=λf（x），即f（kx）=kf（x）（k∈R），故②为真命题；
对于③，若f（x）和g（x）均是R上的线性变换，则对任意的实数x，y，λ，μ，均有f（λx+μy）=λf（x）+μf（y），g（λx+μy）=λg（x）+μg（y），于是f（λx+μy）+g（λx+μy）=λf（x）+μf（y）+λg（x）+μg（y）=λ（f（x）+g（x））+μ（f（x）+g（x）），故f（x）+g（x）是R上的线性变换，所以③为真命题；
对于④，令f（x）=x-1，利用线性变换的定义可知f（x）不是R上的线性变换．故④为假命题．
故答案为：①②③．
点评：本题考查新定义型问题的解决方法，考查学生对概念的认识和把握程度，验证一个函数是否为线性变换需要验证是否满足其定义，考查学生的转化与化归思想，整理化简的能力和意识．