Question

（2007•东城区一模）设函数f（x）=sin（?x+?），其中?＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

，给出四个论段：
①它的周期是π 
②它的图象关于直线x=

π

12

对称  
③它的图象关于点（

π

3

，0)对称
④在区间(-

π

6

，0)上是增函数，
以其中两个论段作为条件，另两个论段作为结论，写出一个你认为正确的命题

①②→③④或①③→②④

．

Answer 1

分析：先考虑：若①它的周期是π，则根据周期公式可得ω=

2π

π

=2，f（x）=sin（2x+φ），②它的图象关于直线x=

π

12

对称成立结合-

π

2

＜φ＜

π

2

，可求φ=

1

3

π，则可得f（x）=sin（2x+

1

3

π），根据三角函数的性质检验③④即可判断，①③⇒②④同理可得

解答：解：设函数f（x）=sin（?x+φ），
若①它的周期是π，则根据周期公式可得ω=

2π

π

=2，f（x）=sin（2x+φ）
②它的图象关于直线x=

π

12

对称成立，则2×

π

12

+φ=

π

2

+kπ
φ=kπ+

1

3

π
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=

1

3

π
∴f（x）=sin（2x+

1

3

π）
f(

π

3

)=0，
令-

π

2

＜2x+

π

3

＜

π

2

可得函数的一个单调递增区间（

5π

12

，

π

12

）?(-

π

6

，0)
故③④正确
①③⇒②④也可
故答案为：①②⇒③④或①③⇒②④

点评：本题主要考查了三角函数中由函数 的性质求解函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，利用函数的解析式研究函数的性质：对称性，单调性等知识的综合应用，本题有一定的综合性．