Question

【题目】已知椭圆上的一点到其左顶点的距离为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线与椭圆交于两点(与点不重合)，若以为直径的圆经过点,试证明:直线过定点.

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)把点代入椭圆方程中,再根据点到其左顶点的距离为可以列出方程,联立解方程组即可求出椭圆的方程;

(2)由题意可知：以为直径的圆经过点,这样有

根据直线是否存在斜率分类讨论，当不存在斜率时，通过解方程可以证明直线过定点；当存在斜率时，设出直线方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，把转化为向量的数量积最后可以确定直线过定点.

(1)易知左顶点的坐标为.

由已知可得，解得,

所以椭圆的方程为.

(2)证明:若以为直径的圆经过点.则,即,故

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为由题意得为等腹直角三角形，设直线与椭圆在轴上方的交点为，则的坐标为.所以有，

解得 (舍去)或，所以此时直线的方程为,

当直线的斜率存在时，设直线方程为.,

联立： 消去得：

则,

,

由题意，则,

则

,

所以,

化简得,

所以，解得或,

当时，满足.此时直线方程为.过定点:

当时，满足.此时直线方程为.过定点,不合题意.综上.直线经过定点.