Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M为PB中点．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AB与平面PAC所成角；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）求出

AP

，

DC

，计算

AP

•

DC

=0，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出

A B

以及平面PAC的法向量，计算cos＜

AB

，

n

＞的值，即可求得结果．
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

NC

=λ

MC

，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出

AN

，

BN

，计算
cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

即可取得结果．

解答：解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M(0，1，

1

2

)
（Ⅰ）证明：因为

AP

=(0，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
故

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC．
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因

A B

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0）；
设平面PAC的法向量为

n

=（e，f，g）
∵

n

•

AP

=0，

n

•

AC

=0⇒g=0，e+f=0⇒

n

=（1，1，0）
∴cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

2

2× 2

=

2

2

．
∴AB与平面PAC所成角：45°；
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），
则存在使

NC

=λ

MC

，

NC

=(1-x，1-y，-z)，

MC

=(1，0，-

1

2

)，
∴x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ．
要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0即x-

1

2

z=0，
解得λ=

4

5

．可知当λ=

4

5

时，N点坐标为(

1

5

，1，

2

5

)，能使

AN

•

MC

=0．
此时，

AN

=(

1

5

，1，

2

5

)，

BN

=(

1

5

，-1，

2

5

)，
有

BN

•

MC

=0由

AN

•

MC

=0，

BN

•

MC

=0得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．
∵|

AN

|=

30

5

，|

BN

|=

30

5

，

AN

•

BN

=-

4

5

，
∴cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

=-

2

3

．
故所求的二面角为arccos(-

2

3

)．

点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．