Question

【题目】如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶
点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2 ， 试在“8”字形曲线上求点P，使得
∠F1PF2是直角．

Answer 1

【答案】解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，则圆心为（0，2），半径为2．
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=2．
即有交点为（2，2）．
设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），
则=1，且a=2，解得，b=2．
则双曲线的方程为=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，
由解得，x2=6，y2=2．
由解得，y=±1，不满足题意，舍去．
故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（,），（﹣,），
（﹣，﹣），（，﹣）．
【解析】（1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a=2，令y=2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；
（2）求出焦点坐标，∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．