Question

【题目】已知函数（， 为常数），函数（为自然对数的底）.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求得 ，分三种情况讨论，分别研究函数的单调性进而可得函数极值点的个数；（2）不等式对恒成立，等价于只需研究函数的最小值不小于零即可.

试题解析：（1） ，

由得： ，记，则，

由得，且时， ， 时， ，

所以当时， 取得最大值，又，

（i）当时， 恒成立，函数无极值点；

（ii）当时， 有两个解， ，且时， ， 时， ， 时， ，所以函数有两个极值点；

（iii）当时，方程有一个解，且时， 时， ，所以函数有一个极值点；

（2）记 ，

由，

， ，

由，

又当， 时， ，

， 在区间上单调递增，

所以恒成立，即恒成立，

综上实数的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得的范围的.