【题目】已知函数(
,
为常数),函数
(
为自然对数的底).
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若不等式对
恒成立,求实数的
取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:(1)求得
,分三种情况讨论,分别研究函数的单调性进而可得函数极值点的个数;(2)不等式
对
恒成立,等价于
只需研究函数
的最小值不小于零即可.
试题解析:(1)
,
由得:
,记
,则
,
由得
,且
时,
,
时,
,
所以当时,
取得最大值
,又
,
(i)当时,
恒成立,函数
无极值点;
(ii)当时,
有两个解
,
,且
时,
,
时,
,
时,
,所以函数
有两个极值点;
(iii)当时,方程
有一个解
,且
时
,
时,
,所以函数
有一个极值点;
(2)记
,
由,
,
,
由,
又当,
时,
,
,
在区间
上单调递增,
所以恒成立,即
恒成立,
综上实数的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得
的范围的.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知{an}是公差为1的等差数列,a1 , a5 , a25成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= 3+an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调,关于这批空调的使用年限(单位:年,
)和所支出的维护费用
(单位:万元)厂家提供的统计资料如下:
(1)请根据以上数据,用最小二乘法原理求出维护费用关于
的线性回归方程
;
(2)若规定当维护费用超过13.1万元时,该批空调必须报废,试根据(1)的结论预测该批空调使用年限的最大值.
参考公式:最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式:
,
,其中
表示样本均值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、
原料2千克;生产乙产品1桶需耗
原料2千克,
原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗
原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__________元.
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