Question

18．二面角α-l-β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有3条．

Answer 1

分析 利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．

解答 解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，
与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，∠AOB=50°
设OP₁为∠AOB的平分线，则∠P₁OA=∠P₁OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，
此时过P且与OP₁平行的直线符合要求，有一条．当OP₁以O为轴心，
在二面角α-l-β的平分面上转动时，OP₁与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．  
图2．
（2）如图2，设OP₂为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P₂OA=∠P₂OB=65°，
与平面α，β所成的角都是65°．当OP₂以O为轴心，
在二面角α-l-β′的平分面上转动时，OP₂与两平面夹角变小，
对称地在图中OP₂两侧会出现25°情形，有两条．
此时过P且与OP₂平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有3条．
故答案为：3．

点评 本题考查满足条件的直线的条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．