Question

8．设函数f（x）=x+sinx，则不等式$\frac{f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）}{2}$＜f（1）的解集是（0，e）．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数 奇偶性和单调性进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sinx+x，
∴f（-x）=-sinx-x=-f（x），
即函数f（x）为奇函数，
函数的导数f′（x）=cosx+1≥0，
则函数f（x）是增函数，
不等式$\frac{f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）}{2}$＜f（1），
即2f（lnx）＜2f（1），
故lnx＜1，
解得：0＜x＜e，
故不等式的解集是（0，e），
故答案为：（0，e）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数奇偶性和单调性是解决本题的关键．